Question

长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点．

Answer 1

解题思路：（1）根据已知中长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点，结合长方体的几何特征，我们可得AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，结合线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A₁D₁E；

（2）由（1）的结论，我们可得AE即为三棱锥A-A₁D₁E的高，根据已知求出三棱锥的底面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥A-A₁D₁E的体积；

（3）取CC₁的中点F，连接D₁F，则可得∠AD₁F即为求异面直线A₁E与AD₁所成角，在△AD₁F中，可求得结论．

（1）证明：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点

∴AE=A₁E=

2，AA₁=2，

∴AA₁²=AE²+A₁E²

∴AE⊥A₁E

又∵D₁A₁⊥平面A₁EA，AE⊂平面A₁EA

∴AE⊥A₁D₁，又D₁A₁∩A₁E=A₁，

∴AE⊥平面A₁D₁E；

（2）由（1）中AE⊥平面A₁D₁E，

∴V_A-A1D1E=[1/3]•S_△A1D1E•AE=

1

3×

1

2×1×

2×

2=[1/3]

（3）取CC₁的中点F，连接D₁F，

则A₁E∥D₁F，所以∠AD₁F即为求异面直线A₁E与AD₁所成角．

∵AB=BC=1，AA₁=2，∴D1F＝

2，AF＝

3，AD1＝

5

∵D1F2+AF2＝AD12

∴D₁F⊥AF

在△AD₁F中，可求得tan∠AD₁F=

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题主要考查空间角，体积的计算，线面垂直，考查了空间想象能力、计算能力，属于中档题．