Question

一道简单的高等数学不等式证明题证明不等式 1+xlnx（x+跟号[1+x^2])>根号[1+x^2] (x>0)

Answer 1

设f(t)＝1+tln[t+√(1+t^2)]-√(1+t^2),

则易求得

f'(t)＝1+ln[t+√(1+t^2)],

f"(t)＝[1+1/√(1+t^2)]/[t+√(1+t)].

显然,当t>0时,有f"(t)>0,

故f'(t)为单调递增函数,

∴f'(t)>f'(0)＝1>0,

故f(t)也为单调递增函数.

从而,x>0时,有f(x)>f(0)＝0,

∴1+xln[x+√(1+x^2)]-√(1+x^2)>0,

即1+xln[x+√(1+x^2)]>√(1+x^2).

故原不等式得证.