Question

在数列｛an｝中,已知a1=7/2,an=3a(n-1)+3^n-1(n≥2,n属于N*).

Answer 1

证明：（1）∵an=3a[n-1]+3^n-1(n≥2,n属于N*).[n-1]为下标

∴（an-1/2)/3^n-（a[n-1]-1/2)/3^[n-1]=(3a[n-1]+3^n-1-1/2)/(3^n)-(a[n-1]-1/2)/(3^[n-1])

=1

∴数列｛（an-1/2)/3^n｝是以(a1-1/2)/3^1=1,d=1的等差数列

（2）∵an-1/2)/3^n=1+（n-1）*1

∴an=n*3^n+1/2 n∈N+

先设bn=n*3^n,cn=1/2,另设数列{bn}的前n项和为Tn

然后用错位相减法来求Tn

Tn=1*3+2*3²+3*3³+……+n*3^n ①

3Tn= 1*3²+2*3³+……+(n-1)*3^n+n*3^(n+1) ②

②-①得Tn=(3/2n-3/4)*3^n+3/4

则Sn=Tn+1/2n=(3/2n-3/4)*3^n+3/4+1/2n n∈N+