Question

（2012•南平）在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形

Answer 1

解题思路：（1）先根据四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），求出点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标即可；

（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出abc的值，进而得出其抛物线的解析式；

（3）根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标，把D点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可．

（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），

∴A（m，0），C（0，1），

∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成，

∴A′（0，m），C′（-1，0）；

（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，

∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），

∴

am2+bm+c＝0

c＝m

a−b+c＝0，解得

a＝−1

b＝m−1

c＝m，

∴此抛物线的解析式为：y=-x²+（m-1）x+m；

（3）存在．

∵点B与点D关于原点对称，B（m，1），

∴点D的坐标为：（-m，-1），

∵抛物线的解析式为：y=-x²+（m-1）x+m；

假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上，

则y=-（-m）²+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m²+2m+1=0，

∵△=2²-4×（-2）×1=12＞0，

∴此点在抛物线上，解得m=

1+

3

2或m=

1−

3

2（舍去）．

故m的值为

1+

3

2

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到图形旋转的性质及用待定系数法求抛物线的解析式，根据图形旋转不变性的性质求出A′、C′的坐标是解答此题的关键．