解题思路：（Ⅰ）令n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜想：an=n+1（n∈N*），再用用数字归纳法证明．
（Ⅱ）构造函数
f(x)＝sinx−
2
π
x(0＜x＜
π
2
)
，求导，利用y=cosx的单调性知f（x）在
(0，
π
2
]
内有且只有一个极大值点，从而可证；
（III）由
S
n
＝sin
π
2•3
+sin
π
3•4
+…+sin
π
(n+1)•(n+2)
，结合
sin
π
a
n
a
n+1
＞
2
a
n
a
n+1
，利用裂项求和
＞2(
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+…+
1
n+1
−
1
n+2
)＝2(
1
2
−
1
n+2
)≥
1
3
，可得对一切
n∈
N
*
，
S
n
＞
1
3
．利用
在(0，
π
2
)内sinx＜x
，可证右边．
（Ⅰ）a1=2，a2=3，a3=4，猜测：an=n+1
下用数学归纳法
①当n=1时，a1=1+1=2，猜想成立；
②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=k+1
由条件a1+2a2+3a3+…+nan＝
n(an+1)an
3∴a1+2a2+3a3+…+(n−1)an−1＝
(n−1)(an−1+1)an−1
3(n≥2)
两式相减得：nan＝
n(an+1)an
3−
(n−1)(an−1+1)an−1
3
则当n=k+1时，(k+1)ak+1＝
(k+1)(ak+1+1)
3−
k(ak+1)ak
3⇒
a2k+1−2ak+1−k(k+2)＝0∴ak+1=k+2即当n=k+1时，猜想也成立
故对一切的n∈N*，an=n+1成立
（Ⅱ）设f(x)＝sinx−
2
πx(0＜x＜
π
2)
由f′(x)＝cosx−
2
π＝0⇒x＝arccos
2
π
由y=cosx的单调性知f（x）在(0，
π
2]内有且只有一个极大值点，
且f(0)＝f(
π
2)＝0∴在(0，
π
3)内f(x)＞0
即sinx＞
2
πx(0＜x＜
π
2)．
令x＝
π
an，当n≥2时有[π
an∈(0，
π/2)，∴sin
π
an＞
2
an]
又当
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数学归纳法．
考点点评： 本题主要考查数列与不等式的综合，考查放缩法的思想的运用．综合性强