解题思路:首先确定MN为定长,再利用余弦定理,即可确定sin∠MCN的最大值.
由题意,设C(x0,y0),则⊙C的方程(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2.
把y=0和x02=2py0代入整理得x2-2x0x+x02-p2=0.
设M、N的横坐标分别为x1、x2,则x1=x0-p,x2=x0+p.
∴|MN|=|x1-x2|=2p.
∵|CM|=|CN|=
(x0−x1)2+y02=
p2+y02
∴cos∠MCN=
−2p2+2y02
2p2+2y02=1-
2p2
p2+y02
∴-1≤cos∠MCN<1,
∵0<∠MCN<π
∴0<sin∠MCN≤1,
∴sin∠MCN的最大值为1
故答案为:1
点评:
本题考点: 抛物线的应用.
考点点评: 本题考查圆与抛物线的综合,考查余弦定理的运用,确定MN为定长是关键.