（1）函数f（x）在R上为增函数．
证明如下：设x 1，x 2∈R，且x 1＜x 2，
则f（x 1）-f（x 2）=
a
a 2 -1 [（a x 1 -a -x 1 ）-（a x 2 -a -x 2 ）]=
a
a 2 -1 ( a x 1 - a x 2 )(1+
1
a x 1 a x 2 ) ，
当a＞1时，a 2-1＞0，a x 1 -a x 2 ＜0，
∴f（x 1）＜f（x 2）；
当0＜a＜1时，a 2-1＜0，a x 1 -a x 2 ＞0，
∴f（x 1）＜f（x 2）；
∴当a＞0且a≠1时，f（x）在R上是增函数；
（2）∵f（x）定义域为（-1，1），在数轴上关于原点对称，…（8分）
又∵ f(-x)=
a
a 2 -1 ( a -x - a x ) = -
a
a 2 -1 ( a x - a -x ) =-f（x），
∴f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数．…（10分）
由f（1-m）+f（1-m 2）＜0得f（1-m）＜-f（1-m 2），∴f（1-m）＜f（m 2-1），…（12分）
∴
-1＜1-m＜1
-1＜1- m 2 ＜1
1-m＜ m 2 -1 ，…（14分）
解得 1＜m＜
2 即为所求m的取值范围．…（15分）