解题思路:(Ⅰ)由已知得到b的值,结合通径长为1求得a的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设出A,B的坐标及切线AQ的方程
y−(
x
1
2
+h)=k(x−
x
1
)
,和抛物线方程联立后由判别式等于0得到切线斜率与A的横坐标的关系,进一步得到AQ的方程,同理得到BQ的方程,联立两切线方程求出Q点的坐标,写出三角形ABQ的面积表达式,结合Q点在椭圆上把面积用含有k的代数式表示,求出使面积取得最值时的k与h值,则△ABQ面积取得最值时的抛物线C2的方程可求.
(I)由题意得
b=1
2•
b2
a=1,解得
a=2
b=1,
∴所求的椭圆方程为
y2
4+x2=1;
(II)令A(x1,x12+h),B(x2,x22+h),
设切线AQ方程为y−(x12+h)=k(x−x1),代入y=x2+h,得:x2−kx+kx1−x12=0.
令△=0,可得k=2x1.
∴抛物线C2在点A处的切线斜率为k=2x1.
∴切线AQ方程为:y−(x12+h)=2x1(x−x1),即y=2x1x−x12+h ①
同理可得BQ方程为:y=2x2x−x22+h ②
联立①②解得Q点为(
x1+x2
2,x1x2+h).
焦点F坐标为(0,h+
1
4),令l方程为:y=kx+h+
1
4,代入C2:y=x2+h,
得:x2−kx−
1
4=0,由韦达定理有:x1+x2=k,x1x2=−
1
4.
∴Q点为(
k
2,h−
1
4).
过Q作y轴平行线交AB于M点,则S△ABQ=
1
2|QM||x1−x2|.
M点为(
k
2,
k2
2+h+
1
4),
|QM|=
k2+1
2,|x1−x2|=
(x1+x2)2−4x1x2=
k2+1.
∴S△ABQ=
1
2|QM||x1−x2|=
1
4(
k2+1)3.
而Q点在椭圆上,∴
(h−
1
4)2
4+(
k
2)2=1,∴k2=4−(h−
1
4)2∈[0,4].
∴(S△ABQ)min=
1
4,此时k=0,h=
9
4或-[7/4],
则抛物线方程为:y=x2+
9
4或y=x2−
7
4.
(S△ABQ)max=
5
5
4,此时k2=4,h=
1
4,
则抛物线方程为:y=x2+
1
4.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
考点点评: 本题考查了椭圆的标准方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的位置关系,训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法,解答的关键是如何把三角形ABQ的面积转化为仅含直线AQ的斜率k的函数关系,考查了学生灵活处理问题的能力和整体计算能力,是高考试卷中的压轴题.