已知椭圆C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的右顶点为P(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.

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  • 解题思路:(Ⅰ)由已知得到b的值,结合通径长为1求得a的值,则椭圆方程可求;

    (Ⅱ)设出A,B的坐标及切线AQ的方程

    y−(

    x

    1

    2

    +h)=k(x−

    x

    1

    )

    ,和抛物线方程联立后由判别式等于0得到切线斜率与A的横坐标的关系,进一步得到AQ的方程,同理得到BQ的方程,联立两切线方程求出Q点的坐标,写出三角形ABQ的面积表达式,结合Q点在椭圆上把面积用含有k的代数式表示,求出使面积取得最值时的k与h值,则△ABQ面积取得最值时的抛物线C2的方程可求.

    (I)由题意得

    b=1

    2•

    b2

    a=1,解得

    a=2

    b=1,

    ∴所求的椭圆方程为

    y2

    4+x2=1;

    (II)令A(x1,x12+h),B(x2,x22+h),

    设切线AQ方程为y−(x12+h)=k(x−x1),代入y=x2+h,得:x2−kx+kx1−x12=0.

    令△=0,可得k=2x1

    ∴抛物线C2在点A处的切线斜率为k=2x1

    ∴切线AQ方程为:y−(x12+h)=2x1(x−x1),即y=2x1x−x12+h ①

    同理可得BQ方程为:y=2x2x−x22+h ②

    联立①②解得Q点为(

    x1+x2

    2,x1x2+h).

    焦点F坐标为(0,h+

    1

    4),令l方程为:y=kx+h+

    1

    4,代入C2:y=x2+h,

    得:x2−kx−

    1

    4=0,由韦达定理有:x1+x2=k,x1x2=−

    1

    4.

    ∴Q点为(

    k

    2,h−

    1

    4).

    过Q作y轴平行线交AB于M点,则S△ABQ=

    1

    2|QM||x1−x2|.

    M点为(

    k

    2,

    k2

    2+h+

    1

    4),

    |QM|=

    k2+1

    2,|x1−x2|=

    (x1+x2)2−4x1x2=

    k2+1.

    ∴S△ABQ=

    1

    2|QM||x1−x2|=

    1

    4(

    k2+1)3.

    而Q点在椭圆上,∴

    (h−

    1

    4)2

    4+(

    k

    2)2=1,∴k2=4−(h−

    1

    4)2∈[0,4].

    ∴(S△ABQ)min=

    1

    4,此时k=0,h=

    9

    4或-[7/4],

    则抛物线方程为:y=x2+

    9

    4或y=x2−

    7

    4.

    (S△ABQ)max=

    5

    5

    4,此时k2=4,h=

    1

    4,

    则抛物线方程为:y=x2+

    1

    4.

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.

    考点点评: 本题考查了椭圆的标准方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的位置关系,训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法,解答的关键是如何把三角形ABQ的面积转化为仅含直线AQ的斜率k的函数关系,考查了学生灵活处理问题的能力和整体计算能力,是高考试卷中的压轴题.