考点：
切线的判定；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.
专题：
几何综合题.
分析：
（1）根据当点P是弧BC的中点时,得出弧PBA=弧PCA,得出PA是○O的直径,再利用DP∥BC,得出DP⊥PA,问题得证；
（2）利用切线的性质,由勾股定理得出半径长,进而得出△ABE∽△ADP,即可得出DP的长．
（1）当点P是弧BC的中点时,DP是⊙O的切线．理由如下：
∵AB=AC,
∴弧AB=弧AC,
又∵弧PB=弧PC,
∴弧PBA=弧PCA,
∴PA是○O的直径,
∵弧PB=弧PC,
∴∠1=∠2,
又AB=AC,
∴PA⊥BC,
又∵DP∥BC,
∴DP⊥PA,
∴DP是⊙O的切线．
（2）连接OB,设PA交BC于点E．
由垂径定理,得BE=BC=6,
在Rt△ABE中,由勾股定理,得：
AE=8,
设⊙O的半径为r,则OE=8﹣r,
在Rt△OBE中,由勾股定理,得：
r2=62+（8﹣r）2,
解得r=25/4,
∵DP∥BC,∴∠ABE=∠D,
又∵∠1=∠1,
∴△ABE∽△ADP,
∴6：DP=8;2×25/4,
解得：DP=75/8．