Question

设f(x)在闭区间[a,b] 上连续,在开区间[a,b] 内可导,且f(a)=0 ,证明存在ξ∈(a,b) ,使得 f'

Answer 1

证明：设F(x)=f(x)(b-x).则：F(x)在闭区间[a,b] 上连续,在开区间（a,b)内可导.

由于F(a)=f(a)(b-a)=0 F(b)=0,由罗尔中值定理,存在ξ∈(a,b) ,使得 F'(ξ)=0

但F‘(x)=f’(x)(b-x)-f(x),代入得：

f’(ξ)(b-ξ)-f(ξ)=0

即：

f’(ξ)= f(ξ)/(b-ξ)