Question

同济第六版高数 99页 那个法向量方向余弦 为什么 X Y 的 都有个符号 COSa=-fx/√1+fx^2+fy^2?

Answer 1

曲面方程 F(x,y,z)=0 的一个法向量可以为 n = { ∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z}

特别的,若曲面方程能表示成 F(x,y,z)=z-f(x,y)=0

那么法向量可以为 n = ±{ -∂f/∂x,-∂f/∂y,1},+表示法向量向上,-表示法向量向下

单位化之后就是 n.= ±(1/|n|){ -∂f/∂x,-∂f/∂y,1} ,其中|n|= [1+(∂f/∂x)²+(∂f/∂y)²]^(1/2)

至于为什么有负号

∂F/∂x=∂[z-f(x,y)]/∂x=∂z/∂x-∂f(x,y)/∂x=-∂f/∂x

这里注意这里在求∂F/∂x时要将y,z都看成常数,于是∂z/∂x=0