大学物理题,若电荷均匀地分布在长为L的细棒上,求证:(1)在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为E=1/(πε.)*

2个回答

  • (1)设电荷密度为ρ

    dE=ρdr/4πε(r-L/2)^2

    E=∫ρdr/4πε(r-L/2)^2=ρ/4πε(L/2-r)|从r积到r+L

    E=ρL/πε(4r²-L²),Q=ρL

    换一下就可以了

    (2)这个最好是用三角的积分

    我这里给你一个在任意r处的场强 不只是中线上的

    设棒最上端与点r的连线与棒的夹角为θ1,下端的夹角为θ2

    dl=rdθ/sin^2θ

    E=ρ/4πε*[∫dl/(r/sinθ)^2*(sinθ(i)+cosθ(j))+∫dl/(r/sinθ)^2*(sinθ(i)+cosθ(-j)]|从各自的θ积分积到π/2

    积分的结果是

    E=ρ/(4πε*r)*[(cosθ1+cosθ2)(i)+(sinθ2-sinθ1)(j)](i j 是方向向量 计算积分的时候一定要带上)

    中线上 sinθ2-sinθ1=0,cosθ1+cosθ2=2cosθ1

    因此 化简为E=ρ*cosθ1/2πεr(这个是大小 省略方向向量)

    然后cosθ=L/2/sqrt(r^2+(L/2)^2)带入即可

    (注意:Q=ρL)

    而无穷长导线就是θ1=θ2=0,cosθ=1因此为

    ρ/2πε*r

    这个和直接用高斯定理算出来的一致