【难题巧解点拨】
例1：根据下列要求分别写出相应的函数关系式：
（1）y与x成正比例,其图象过点 ；
（2）函数y=kx－（2k+1）的图象过原点；
（3）一次函数y=kx+b,当x=5时,y=－2；当x=2时,y=1；
（4）y与x－1成正比例,且当x=－5时,y=3．
（1）根据题意设y=kx,则 ,
解得 ．
（根据函数类型设出函数表达式,只需确定表达式中的字母即可）
∴所求函数的关系式为 ．
（2）由函数图象过原点,得k•0－（2k+1）=0,
解得 ．
（函数图象过某一点,则该点的坐标符合函数表达式）
∴所求函数的关系式为 ．
（3）根据题意得
（可以把两式相减消去b,解出k后,再求出b）
解得k=－1,b=3．
∴所求函数的关系式为y=－x+3．
（4）设y=k（x－1）,根据题意得k（－5－1）=3,
（注意函数的设法）
解得 ．
（这个函数是正比例函数吗?）
∴所求函数的关系式为 ．
例2：根据函数图象（如图6－8）,求出相应的函数关系式．
由图象经过原点,且为直线,可判断它是正比例函数．
设所求函数为y=kx,由直线经过点（－2,1）,
得1=－2k,
解得 ．
∴所求函数的关系式为 ．
例3：已知一次函数的图象经过点（－2,1）,（3, ）,求这个一次函数的表达式．
根据题意设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）,
根据题意,得
（求函数表达式一般用待定系数法,先设出函数的一般式,再根据条件求出待定系数,将待定系数的值代入一般式中即得函数表达式）
解得
∴这个一定函数的表达式为 ．
例4：若正比例函数 中,y随x的增大而减小,求这个正比例函数．
∵这个函数是正比例函数,
,∴m=±1．（别漏掉了－1）
又∵y随x的增大而减小,
∴2m－16时,y=6a+c（x－6）
（易误写成y=6a+cx）
由已知,得
解得：
∴用水不超过6立方米时,y和x的函数关系式为y=1.5x（1≤x≤6）；
用水超过6立方米时,y和x的函数关系式为y=9+6（x－6）=6x－27（x>6）,
即y=6x－27（x>6）．
（2）当x=8时,
y=6x－27=6×8－27=21（元）．
（求x=8时的函数值应代入函数式y=6x－27（x>6）中）
答：该户5月份的水费是21元．
【典型热点考题】
例1 已知y+b与x+a(其中a、b是常数)成正比．
(1)求证：y是x的一次函数；
(2)若x=3时,y=5；x=2时,y=2,求函数的表达式．
点悟：(1)由正比例函数关系入手,化为一次函数形式,依定义进行判定；(2)想办法确定一次函数表达式中各常数的值．
(1)∵ y+b与x+a成正比例,
∴ y+b=k(x+a)(k为常数,k≠0),整理,得 y=kx+(ka－b)．
∵ k,a,b均为常数,且k≠0,
∴ y是x的一次函数．
(2)∵ 当x=3时,y=5；当x=2时,y=2．
∴
故此函数的表达式为．y=3x－4．
点拨：解此类题要用整体观点,即把y+b、x+a及ka－b分别看成整体．
例2 判断三点A(1,3)、B(－2,0)、C(2,4)是否在同一条直线上,为什么?
点悟：三点共线的判定方法是：先任取两点,求出这两点所在直线的解析式,然后验证第三点是否满足所求出的解析式,如果满足,则三点共线；如不满足,则三点不共线．
设过A(1,3)、B(－2,0)两点的直线的解析式为y=kx+b．
则 ；
∴ 过A、B两点的直线的解析式：y=x+2．
将点C(2,4)代入y=x+2检验：
∵ 当x=2时,y=2+2=4．
∴ C(2,4)满足y=x+2．
∴ 点C也在直线y=x+2上．
故A、B、C三点在同一条直线上．
点拨：直线的函数解析式均可设为y=kx+b．
例3 已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是－2≤x≤6,相应的函数值范围是－11≤y≤9,求此函数的解析式．
当k>0时,∵y随x的增大而增大,
∴ 由－2≤x≤6 得：6k+b≤kx+b≤－2k+b,
即：－2k+b≤y≤6k+b．
又∵ －11－1．
综上所解m值,得m的取值范围是－10,
∴ AB=m+4,CD=4m+4．
又∵ AB、CD都垂直于x轴,
∴ AB‖CD．
∴ ,
∴ ,
解得 .
∴ 此一次函数的解析式为 ．
(3)由 可得此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为E(8,0),F(0,4)．
∵ 点C(4,0),∴ OC=4．
∵ CE=OE=OC=8－4=4,
∴ OC=EC,即C是OE的中点．
又∵ 在Rt△EOF中,DC‖OF,
∴ CD是Rt△EOF的中位线,
∴ D是EF的中点．
因此点D是Rt△EOF的外心．
点拨：本题是函数与几何知识的综合题,解这类题的关键是运用数形结合思想,借助图形,紧紧抓住几何图形的性质,以几何推理为基础,寻找相关量之间的关系,从而达到求解的目的．
例5 已知：如图6－10,直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象,直线PB是一次函
数y=－2x+m(m>n)的图象．
(1)用m、n表示A、B、P的坐标；
(2)若点Q是PA与y轴的交点,且四边形PQOB的面积是 ,AB=2,试求点P的坐标,
并写出直线PA与PB的表达式．
点悟：(1)把y=0代入y=x+n,即可求得A点坐标,同法再求点B的坐标；(2)由面积和AB=2,求m、n的值即可．
(1)∵ 点A是直线y=x+n上的点,且在x轴上．
∴ 把y=O代入y=x+n,得x=－n,
∴ 点A的坐标为(－n,0),
同理可求出点B的坐标为( ,0)．
因为点P是直线y=x+n与直线y=－2x+m的交点,所以点P的坐标是方程组
的解 为
∴ 点P的坐标是 ．
(2)如图,连结PO,则有
,
.
由已知 ,及AB=AO+OB=2,
得 ．
整理,得
②代入①,整理,得 ,解得n=±1．
∵ n>O,∴ 只能取n=1．
把n=1代入②,得 m=2．
∴ m=2,n=1．
把m=2,n=1代入①中求得的 ,得点P的坐标为 ．
把m=2,n=1分别代入y=x+n,y=－2x+m中,得PA、PB的表达式分别为
y=x+1和y=－2x+2．
点拨：(1)是应用了坐标轴上的点的坐标的特点；(2)是利用割补法求面积,基本思想是全面积等于各部分面积之和．割补的原则一般是：尽可能地使分割出的三角形的边有一条在坐标轴上．因为这样的三角形面积比较容易计算．