Question

如图，线段AB的两个端点A、B分别分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB

Answer 1

（1）由题可知AM=

2

5 AB，且可设A（x ₀，0），M（x，y），B（0，y ₀），

则可得 x 0 =

5

3 x， y 0 =

5

2 y ，

又|AB|=5，即 x 0 2 + y 0 2 =25 ，∴

x 2

9 +

y 2

4 =1 ，这就是点M的轨迹方程．

（2）由（1）知F ₁为（ -

5 ，0），F ₂为（

5 ，0），

由题设PQ为 x=my-

5 ，

直线方程代入椭圆方程，可得（4m ²+9）y ²- 8

5 my -16=0，

设P（x ₁，y ₁），Q（x ₂，y ₂），

则△＞0恒成立， y 1 + y 2 =

8

5 m

4 m 2 +9 且 y 1 y 2 =

-16

4 m 2 +9 ，

∴ S △PQ F 2 =

1

2 | F 1 F 2 |(| y 1 |+| y 2 |) =

5 | y 1 - y 2 | = 24

5 •

m 2 +1

4 m 2 +9

令t=

m 2 +1 （t≥1），则 S △PQ F 1 = 24

5 •

1

4t+

5

t ≤6，

当且仅当 t=

5

2 ，即m= ±

1

2 时取“=”

∴ S △PQ F 2 的最大值为6，

此时PQ的方程为2x+y-2

5 =0或2x-y-2

5 =0．