Question

如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=

Answer 1

解题思路：根据抛物线y=x²与抛物线y_n=（x-a_n）²+a_n相交于A_n，可发现规律，根据规律，可得答案．

M₁（a₁，a₁）是抛物线y₁=（x-a₁）²+a₁的顶点，

抛物线y=x²与抛物线y₁=（x-a₁）²+a₁相交于A₁，

得x²=（x-a₁）²+a₁，

即2a₁x=a₁²+a₁，

x=[1/2]（a₁+1）．

∵x为整数点

∴a₁=1，

M₁（1，1）；

M₂（a₂，a₂）是抛物线y₂=（x-a₂）²+a₂=x²-2a₂x+a₂²+a₂顶点，

抛物线y=x²与y₂相交于A₂，

x²=x²-2a₂x+a₂²+a₂，

∴2a₂x=a₂²+a₂，

x=[1/2]（a₂+1）．

∵x为整数点，

∴a₂=3，

M₂（3，3），

M₃（a₃，a₃）是抛物线y₂=（x-a₃）²+a₃=x²-2a₃x+a₃²+a₃顶点，

抛物线y=x²与y₃相交于A₃，

x²=x²-2a₃x+a₃²+a₃，

∴2a₃x=a₃²+a₃，

x=[1/2]（a₃+1）．

∵x为整数点

∴a₃=5，

M₃（5，5），

∴点M₂₀₁₄，两坐标为：2014×2-1=4027，

∴M₂₀₁₄（4027，4027），

故答案为：（4027，4027）

点评：

本题考点： 二次函数图象与几何变换．

考点点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，定点沿直线y=x平移是解题关键．