1.
连接AH并延长交BC于I,由于H是ΔABC垂心,AI⊥BC
由于∠BEC=∠BFC=90°,从而B、C、E、F四点共圆,∴∠1=∠3
同理可知A、F、I、C四点共圆→∠2=∠6；A、B、I、E四点共圆→∠3=∠6
于是∠EFI=∠1+∠2=∠3+∠6=2∠3
而GE是直角ΔBEC斜边上的中线,即GE=GB,∴∠3=∠4,于是∠5=2∠3
于是∠EFI=∠5,从而F、G、I、E四点共圆,于是DI·DG=DE·DF(割线定理)
由B、C、E、F四点共圆可知DE·DF=DC·DB,于是DI·DG=DC·DB,
即DB/DI=DG/DC→ DB/DI-1=DG/DC-1→ BI/DI=CG/DC=(BI-CG)/(DI-DC)
=(BG+GI-CG)/CI=(CG+GI-CG)/CI=GI/CI,即 BI/DI =GI/CI→DI·GI=BI·CI······①,
由于∠3=∠6,∠AIC=∠BIH=90°,ΔAIC∽ΔBIH ,于是AI:BI=CI :HI→AI ·HI=BI ·CI······②
由①②可知DI·GI=AI ·HI→AI:DI=GI:CI,加上∠AIG=∠DIH=90°,于是ΔAIG∽ΔDIH
于是∠7=∠8,而∠7+∠AGI=90°,所以∠8+∠AGI=90°,从而DH⊥AG
2.
如果G是BC中点这个条件不变,则H仍然是垂心.在1的结论基础上用反证法.
如果H不是垂心,则取ΔABC垂心H',H'必在BE上,分两种情况：
（1）如果点H在线段EH'上
连接CH'并延长交AB于F',连接F'E并延长交BC延长线于点D'.则根据1的结论可知D'H'⊥AG
于是D'H'∥DH.由于点H在线段EH'上,则点D必然在线段CD'的延长线上（即线段CD'之外）
但是同样由于点H在线段EH'上,则作为CH延长线与AB交点的点F必然在线段AF'上.于是连接FE并延长与BC延长线的交点（即D点）必然在线段CD'上.这与上边推出的点D在线段CD'之外的结论相矛盾.
（2）如果点H在线段BH'上
结论是类似的.连接CH'并延长交AB于F',连接F'E并延长交BC延长线于点D'.则根据1的结论可知D'H'⊥AG
于是D'H'∥DH.由于点H在线段BH'上,则点D必然在线段CD'的延长线上
但是同样由于点H在线段BH'上,则作为CH延长线与AB交点的点F必然在线段BF'上.于是连接FE并延长与BC延长线的交点（即D点）必然在线段CD'的延长线上（即线段CD'之外）.这与上边推出的点D在线段CD'上的结论相矛盾.
所以H不是垂心的假设不成立.