Question

已知函数f（x）=3x-1的反函数y=f-1（x），g（x）=log9（3x+1）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据原函数f（x）的表达式将x、y进行互换，解出用y表示x的式子，从而得出反函数f^-1（x）的表达式，将此表达式代入题中的不等式：f^-1（x）≤g（x），根据对数函数的单调性求出自变量x的取值范围；

（Ⅱ）利用对数的运算法则，将函数

H(x)＝g(x)−

1

2

f

−1

(x)

转化为

y＝

log

9

(3−

2

x+1

)

的形式，再讨论其内层函数的值域，最后根据对数函数y=log₉x的单调性，得出函数H（x）的值域．

（Ⅰ）由原函数，令x=3^y-1，得y=log₃（x+1）

故函数的反函数为y=f^-1（x）=log₃（x+1），

不等式f^-1（x）≤g（x）化为：log₃（x+1）≤log₉（3x+1）

即：log₉（x+1）²≤log₉（3x+1）

所以有0＜（x+1）²≤3x+1且x＞-1

解这个不等式组，得0≤x≤1

∴不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D=[0，1]

（Ⅱ）H(x)＝g(x)−

1

2f−1(x)=log₉[3x+1/x+1]=log9(3−

2

x+1)

因为x∈D，所以真数3−

2

x+1∈[1，2]

可得H（x）的值域为[log₉1，log₉2]，

∴H（x）的值域是[0，log₉2]

点评：

本题考点： 函数的值域；反函数；其他不等式的解法．

考点点评： 本题考查了反函数、函数的值域以及函数与不等式相综合的问题，属于中档题．第二问不让函数的值域时，要注意分清内函数的值域以及外函数的单调性，方能不出差错．