解题思路：（1）先证明f（x）为奇函数，即证f（-x=-f（x），再将[1/2009]看成一个整体，利用函数的奇偶性即可得出结果；
（2）先设-1＜x1＜x2＜1，再利用作差f（x1）-（x2），考查其结果与0比较，如果f（x1）-（x2）＞0，
即可得原函数在（-1，1）上为减函数．否则是增函数．
（1）
1−x＞0
1+x＞0⇒−1＜x＜1（2分）
又f（-x）=lg（1+x）-lg（1-x）=-f（x）∴f（x）为奇函数，
故f(
1
2009)+f(−
1
2009)＝0． （6分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)−f(x2)＝lg
1−x1
1+x1−lg
1−x2
1+x2＝lg
(1−x1)(1+x2)
(1+x1)(1−x2)
∵（1-x1）（1+x2）-（1+x1）（1-x2）=2（x2-x1）＞0
又（1-x1）（1+x2）＞0，（1+x1）（1-x2）＞0
∴
(1−x1)(1+x2)
(1+x1)(1−x2)＞1，∴lg
(1−x1)(1+x2)
(1+x1)(1−x2)＞0
从而f（x1）＞f（x2）故f（x）在（-1，1）上为减函数． （12分）
点评：
本题考点： 对数函数的单调性与特殊点．
考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的单调性与特殊点、对数的运算等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．