Question

连续函数一定有原函数.含有第二类间断点的函数可能含有原函数,第一类没有.

Answer 1

这的确是很容易混淆的两个概念,其实这二者之间没有什么关系,也就是说可积可能原函数不是初等函数,原函数存在也可能不可积.例如sinx/x,它有第一类间断点,故原函数不是初等函数,但它在R上是可积的.再如1/x的原函数存在且为初等函数lnx,但其在(0,1)上不可积（包括广义积分）.另外需要注意的是,函数有原函数和函数的原函数是初等函数也是两个不同的概念,只要连续就有原函数,但其原函数不一定是初等函数,还是刚才的f(x)=sinx/x,补充定义f(0)=0后,它是连续的,有原函数,但原函数不是初等函数.含有第二类间断点的函数,常义积分（就是一般的定积分）一定是不存在的,因为常义可积的必要条件是函数有界,但是其广义积分可能存在.