定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=a
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  • 解题思路:(I)将a=1,b=-2代入f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0),求出f(x),令f(x)=x,解方程求不动点即可;

    (II)由ax2+(b+1)x+b-1=x有两个不动点,即ax2+bx+b-1=0有两个不等实根,可通过判别式大于0得到关于参数a,b的不等式b2-4ab+4a>0,由于此不等式恒成立,配方可得b2-4ab+4a=(b-2a)2+4a-4a2>0恒成立,将此不等式恒成立转化为4a-4a2>0即可.

    (III)由于本小题需要根据两个点A、B的坐标转化点关于线的对称这一条件,故可以先设出两点的坐标分别为A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),可以得到x1+x2=[a

    5

    a

    2

    −4a+1

    ,由此联想到根与系数的关系,由(II)知,x1、x2应是方程ax2+bx+b-1=0的根,故又可得x1+x2=-

    b/a],至此题设中的条件转化为-[b/a]=

    a

    5

    a

    2

    −4a+1

    ,观察发现参数b可以表示成参数a的函数即

    b=−

    a

    2

    5

    a

    2

    −4a+1

    ,至此,求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题.

    (1)f(x)=x2-x-3,由x2-x-3=x,

    解得x=3或x=-1,所以所求的不动点为-1或3.

    (2)令ax2+(b+1)x+b-1=x,则ax2+bx+b-1=0①

    由题意,方程①恒有两个不等实根,所以△=b2-4a(b-1)>0,

    即b2-4ab+4a>0恒成立,

    则△'=16a2-16a<0,故0<a<1

    (3)设A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),g(x)=−x+

    a

    5a2−4a+1,

    又AB的中点在该直线上,所以

    x1+x2

    2=−

    x1+x2

    2+

    a

    5a2−4a+1,

    ∴x1+x2=

    a

    5a2−4a+1,

    而x1、x2应是方程①的两个根,所以x1+x2=−

    b

    a,即−

    b

    a=

    a

    5a2−4a+1,

    ∴b=−

    a2

    5a2−4a+1=-

    1

    (

    1

    a)2−4(

    1

    a)+5=-

    1

    (

    1

    a−2)2+1

    ∴当a=[1/2]∈(0,1)时,bmin=-1

    点评:

    本题考点: 函数与方程的综合运用.

    考点点评: 本题考点是二次函数的性质,主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识,同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识.

    1年前

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