解题思路:(I)将a=1,b=-2代入f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0),求出f(x),令f(x)=x,解方程求不动点即可;
(II)由ax2+(b+1)x+b-1=x有两个不动点,即ax2+bx+b-1=0有两个不等实根,可通过判别式大于0得到关于参数a,b的不等式b2-4ab+4a>0,由于此不等式恒成立,配方可得b2-4ab+4a=(b-2a)2+4a-4a2>0恒成立,将此不等式恒成立转化为4a-4a2>0即可.
(III)由于本小题需要根据两个点A、B的坐标转化点关于线的对称这一条件,故可以先设出两点的坐标分别为A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),可以得到x1+x2=[a
5
a
2
−4a+1
,由此联想到根与系数的关系,由(II)知,x1、x2应是方程ax2+bx+b-1=0的根,故又可得x1+x2=-
b/a],至此题设中的条件转化为-[b/a]=
a
5
a
2
−4a+1
,观察发现参数b可以表示成参数a的函数即
b=−
a
2
5
a
2
−4a+1
,至此,求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题.
(1)f(x)=x2-x-3,由x2-x-3=x,
解得x=3或x=-1,所以所求的不动点为-1或3.
(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x,则ax2+bx+b-1=0①
由题意,方程①恒有两个不等实根,所以△=b2-4a(b-1)>0,
即b2-4ab+4a>0恒成立,
则△'=16a2-16a<0,故0<a<1
(3)设A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),g(x)=−x+
a
5a2−4a+1,
又AB的中点在该直线上,所以
x1+x2
2=−
x1+x2
2+
a
5a2−4a+1,
∴x1+x2=
a
5a2−4a+1,
而x1、x2应是方程①的两个根,所以x1+x2=−
b
a,即−
b
a=
a
5a2−4a+1,
∴b=−
a2
5a2−4a+1=-
1
(
1
a)2−4(
1
a)+5=-
1
(
1
a−2)2+1
∴当a=[1/2]∈(0,1)时,bmin=-1
点评:
本题考点: 函数与方程的综合运用.
考点点评: 本题考点是二次函数的性质,主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识,同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识.
1年前
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