Question

正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,

Answer 1

⑴ 如图,作PH⊥BC ,根据正方形的轴对称性：ΔPBH≌ΔPDF,

∴PH=PF,又∠PHC=∠HCF=∠PFC=90°,

∴四边形PHCF是正方形,

∴∠BPH+∠HPE=∠EPF+∠HPE=90°,

∴∠BPH=∠EPF,又∠PHB=∠PFE=90°,PH=PF,

∴ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚,

∴PE=PB=PD ∴DF=EF﹙等腰三角形三线合一﹚,

CE=CF-EF=CF-DF=PC/√2-PA/√2,即PC-PA＝√2CE.

(过P作PQ⊥AD于Q,则DF=PQ=AP/√2)

⑵ 作PH⊥BC ,ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚ ∴PE=PB=PD ∴DF=EF,

CE=CF+EF=CF+DF=PC/√2+PA/√2,即PC+PA＝√2CE .