Question

将两块大小一样含30°角的直角三角板，按如图①与图②方式叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，连接CD．

Answer 1

解题思路：（1）分别证明①CD∥AB和②CD⊥AB；

（2）从图中找等腰三角形即可；

（3）根据△A₁BC是等边三角形，即可求得AC，根据面积计算方法求△AB₁C的面积．

（1）填空：

图①中CD与AB平行；图②中CD与AB垂直．

选①证法：

∵∠CAB=∠DBA，∴AE=EB，

又∵AC=BD，

∴DE=CE，则：∠DCE=∠EDC，而：∠DEC=∠BEA，

∴∠DCE=∠BAE

∴CD∥AB．

选②证法：∵AC=AD且CB=BD，

∴A，B都是CD的垂直平分线上的点

∴CD⊥AB

故答案为 平行，垂直．

（2）△EDC，△EBA，△CDB，△DAC．

（3）∵∠A=∠B₁=30°，且∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，

∵BC=A₁D=4，

∴△A₁BC是等边三角形，则：∠ACA₁=90°-∠A₁CB=30°，

∴∠A=30°=∠A₁CA，

∴AA₁=A₁C=4，

∴AB₁=AB+BB₁=8+4=12，

过点C作CE⊥AB，则CE=BC•sin60°=4×

3

2=2

3，

∴S_△AB1C=[1/2]AB₁•CE=[1/2]×12×2

3=12

3．

点评：

本题考点： 勾股定理；平行线的判定；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

考点点评： 本题考查了线段平行、垂直的证明，考查了三角形面积的计算，本题证明A1是AB的中点是解题的关键．