Question

有甲等五个人,他们之间进行传球游戏,甲等可能的把球传给其它的四个人,然后又等可能把球传出去,问第n次球在甲在甲手上的概率

Answer 1

假设第n次在甲手上的概率为P(n).

如果使球第n次时在甲的手上,那么第n-1次时球必然不在甲手上,而是在其他人手中,并且在下一次传球时传给甲.

这个人传球给甲的概率是1/4,故

P(n) = ( 1 - P(n-1) ) * 1/4 = 1/4 - P(n-1)/4 (n>1)

n=1时的值是：

P(1) = 1/5

所以P(n) = 1/4 - P(n-1)/4

= 1/4 - 1/4^2 + P(n-2)/4^2

= ...

= 1/4 - 1/4^2 + 1/4^3 -... - (-1/4)^(n-1) + P(1)/4^(n-1)

= 1/4 - 1/4^2 + ... - (-1/4)^(n-1) - 1/(5*4^(n-1))

= 1/4 * (1+1/4^(n-1)) / (1+1/4) - 1/(5*4^(n-1))

= (1 + 1/4^(n-1))/5 - 1/(5 * 4^(n-1))

= 1/5

用数学归纳法证明,

(1)

n=1的时候,球在5个人手里的概率相等,都是1/5,所以P(1) = 1/5

(2)

假设n=k时P(k)=1/5, 其中k>=1.

那么球此时在甲手里的话,下一轮传球将肯定不会在甲手中,

球如果此时不在甲手里,下一轮持球人传给甲的概率是1/4.

因此P(k+1) = P(k)×0 + (1-P(k)) * 1/4 = (1-1/5)*(1/4) = 1/5.

综上,P(n) = 1/5成立.