证明3的6n次方-2的6n次方能被35整除,n为任意正整数

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  • 3^(6n)-2^(6n)

    =[3^(3n)-2^(3n)][3^(3n)+2^(3n)]

    =(27^n-8^n)(27^n+8^n)

    27^n+8^n=(35-8)^n+8^n

    利用二项式展开,可知n为奇数时,

    27^n+8^n=(35-8)^n+8^n

    =8^n+(-8+35)^n

    展开式的第一项为-8^n可以与8^n抵消,其余项都含有35这个因子,所以

    (35-8)^n+8^n≡0,(MOD35),n为奇数时;

    同理n为偶数时,n可写为n=m*2^k,其中m是一个奇数.我们利用平方差公式,逐渐分解(27^n-8^n),直至得到因子(27^m+8^m)而该因子可被35整除.

    所以对任意自然数n

    3^(6n)-2^(6n)≡0,(MOD35)