如图(1),在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),点C在x轴的正半轴上,直

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  • (1)过点A作AE⊥x轴,垂足为E(如图(1)),

    ∵A(-3,4),

    ∴AE=4,OE=3,

    ∵四边形ABCO为菱形,

    ∴OC=CB=BA=OA=5,

    ∴C(5,0),

    设直线AC的解析式为:y=kx+b,

    则有

    ,∴

    ∴直线AC的解析式为:

    (2)由(1)得M点坐标为

    如图(1),当P点在AB边上运动时,由题意得OH=4,

    =

    当P点在BC边上运动时,记为P 1

    ∵∠OCM=∠BCM,CO=CB,CM=CM,

    ∴△OMC≌△BMC,

    ∴OM=BM=

    ,∠MOC=∠MBC=90°,

    ∴S=

    (3)设OP与AC相交于点Q,连接OB交AC于点K,

    ∵∠AOC=∠ABC,

    ∴∠AOM=∠ABM,

    ∵∠MPB+∠BCO=90°,∠BAO=∠BCO,∠BAO+∠AOH= 90°,

    ∴∠MPB=∠AOH,

    ∴∠MPB=∠MBH,

    当P点在AB边上运动时,如图(2)

    ∵∠MPB=∠MBH,

    ∴PM=BM,

    ∵MH⊥PB,

    ∴PH=HB=

    =

    =2,

    ∴PA=AH-PH=1,

    ∴t=

    ∵AB∥OC,

    ∴∠PAQ=∠OCQ

    ∴∠AQP=∠CQO,

    ∴A△QP∽△CQO,

    在Rt△AEC中,

    在Rt△OHB中,

    ∵AC⊥OB,OK=KB,AK=CK,

    当P点在BC边上运动时,如图(3)

    ∵∠BHM=∠PBM=90°,∠MPB=∠MBH,

    ∴tan∠MPB=tan∠MBH,

    ,即

    ∴PC=BC-BP=5-

    由PC∥OA,同理可证△PQC∽△OQA,

    综上所述,当

    时,∠MPB与∠BCO互为余角,

    直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为

    时,∠MPB与∠BCO互为余角,

    直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1。