Question

如图，设F是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，MN为椭圆的长轴，|MN|=8，焦距为2c，对于点P（−a

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，得a2c-a=2（a-c），由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0，满足题意．当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程得（3m2+4）y2-48my+144=0，由kAF+kBF=0，得到∠AFM=∠BFN．故恒有∠AFM=∠BFN．

（Ⅰ）（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4

∵|PM|=2|MF|，

∴

a2

c-a=2（a-c）

∴a²-ac=2ac-2c²，

∴2e²-3e+1=0，

解得e=[1/2]或e=1（舍去）

∴c=2，b²=a²-c²=12，

∴椭圆的标准方程为

x2

16+

y2

12=1．

（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．

当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得

（3m²+4）y²-48my+144=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则y1+y2＝

48m

3m2+4，y1y2＝

144

3m2+4，

∴k_AF+k_BF=

y1

x1+2+

y2

x2+2＝

y1

my1−6+

y2

my2−6=

2my1y2−6(y1+y2)

(my1−6)(my2−6)=

288m

3m2+4−

288m

3m2+4

(my1−6)(my2−6)=0

∴k_AF+k_BF=0，从而∠AFM=∠BFN综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．