很容易找到x和y都同为无理数的例子.下面证明除(0,0)外,x和y不可能同为有理数.反证法,假设x和y同为有理数.y为有理数,所以它是代数数,所以sqrt(1-y^2)是代数数,所以cos x是代数数,所以cos x+i sin x=e^(i x)是代数数,这与Lindemann–Weierstrass定理产生矛盾.
三角函数y=sin(x)的有理数和无理数闹矛盾了
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