解题思路：（ 1）由于函数定义域是R，因为f（x）是奇函数，故有f（0）=a−12=0，由此解得a的值．（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，可得2x1＜2x2，f（x1）-f（x2）=2(2x1−2x2)(2x2+1)(2x1+1)＜0，即f（x1）＜f（x2），从而可得f（x）是增函数．（3）由于f（x）在[-1，1]上也是增函数，要使f（x）-a≥0恒成立，只要a小于或等于f（x）的最小值，求得f（x）的最小值，可得a的取值范围．
（ 1）由于函数定义域是R，因为f（x）是奇函数，故有f（0）=[a−1/2]=0，
解得a=1．…（4分）
（2）f（x）增函数，…（5分）
因为f(x)＝
2x−1
1+2x，设设x1，x2∈R，且x1＜x2，可得2x1＜2x2．
则f（x1）-f（x2）=…=
2(2x1−2x2)
(2x2+1)(2x1+1)＜0，即f（x1）＜f（x2）
所以f（x）是增函数．…（9分）
（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，所以f（x）在[-1，1]上也是增函数，
要使f（x）-a≥0恒成立，只要a小于或等于f（x）的最小值．
而f（x）的最小值为f（-1）=-[1/3]，
∴a≤-[1/3]…（12分）
点评：
本题考点： 指数函数综合题．
考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性、单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．