Question

设A,B均为n阶方阵,且B=B*B,A=E+B.求证A可逆,并求A逆

Answer 1

用B^2表示矩阵B的平方.

因为 B=B^2,A=E+B,

所以 A^2=(E+B)^2=E+2B+B^2=E+2B+B=E+3B (1)

又因为 A=E+B,B=A-E,3B=3A-3E,所以由(1)式：

A^2=E+3B=E+(3A-3E)=3A-2E.移项即得：

2E=3A-A^2=A(3E-A),或写成 E=A[(3E-A)/2] (2)

对(2)式两边取行列式即知 1=detA*det(3E-A)/2,由此可知必有detA不为0,从而矩阵A可逆；同时,由(2)式以及逆矩阵的唯一性即知 A逆=(3E-A)/2.

代回 A=E+B 也可得到 A逆=E-B/2.