如图，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以点B为 - 知识问答

如图，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一条弧，点E是边AD上的任意一点（点E与A、D

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小题1:∵∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．
∴∠DFE=∠DEF．
∴DE=DF．
又∵AD=DC，
∴AE=FC．
∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，
∴AD切圆B于点A．
同理：CD切圆B于点C．
又∵EF切圆B于点G，
∴AE=EG，FC=FG．
∴EG=FG，即G为线段EF的中点．
小题2:根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
根据勾股定理，得：[来源:Zxxk.Com]
（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²
∴y=
（0＜x＜1）．
小题3:当EF=
时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，
即x+
=
，
解得x₁=
或x₂=
．
①当AE=
时，△AD₁D∽△ED₁F，
证明：设直线EF交线段DD₁于点H，由题意，得：
△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．
∵AE=
，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．
又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，
∴∠ED₁F=∠AD₁D．
∴△ED₁F∽△AD₁D．
②当AE=
时，△ED₁F与△AD₁D不相似．
此题综合运用了切线长定理、相似三角形的判定和性质；能够发现正方形，根据正方形的性质进行分析证明

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