Question

平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆x2+y2-6x-8y+21=0上的一点，试求S=|AP|2+|BP|2

Answer 1

解题思路：设点P的坐标为（x₀，y₀），则有S=4（3x₀ +4y₀-10），设x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ，则S=40sin（θ+∅）+60，其中，

tan∅=[3/4]，0＜∅＜[π/2]．根据-1≤sin（θ+∅）≤1，可得20≤S≤100，当S=100时，sin（θ+∅）=1，θ+∅=[π/2]，

θ=[π/2]-∅，求出点P的坐标；同理求得 S=20时点P的坐标．

把已知圆的一般方程化为标准方程得（x-3）²+（y-4）²=4，设点P的坐标为（x₀，y₀），

则S＝|AP|2+|BP|2＝(x0+1)2+y02+(x0−1)2+y02＝2(x02+y02+1)．…（2分）

∵点P（x₀，y₀）在已知圆上，∴x02+y02-6x₀ +8y₀-21=0，∴S=4（3x₀ +4y₀-10）．

∵（x-3）²+（y-4）²=4，可设x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ．

∴S=4（3x₀ +4y₀-10）=4（6cosθ+8sinθ+15）=40sin（θ+∅）+60，其中，tan∅=[3/4]，0＜∅＜[π/2]．

∵-1≤sin（θ+∅）≤1，∴20≤S≤100，再由tan∅=[3/4]，0＜∅＜[π/2]，可得 cos∅=[4/5]，sin∅=[3/5]．

当S=100时，sin（θ+∅）=1，θ+∅=[π/2]，θ=[π/2]-∅．

∴sinθ=cos∅=[4/5]，cosθ=sin∅=[3/5]，∴x₀=3+2cosθ=[21/5]，y₀ =4+2sinθ=[28/5]．

当 S=20时，sin（θ+∅）=-1，θ+∅=[3π/2]，θ=[3π/2]-∅．sinθ=-cos∅=-[4/5]，cosθ=-sin∅=-[3/5]，

∴x₀=3+2cosθ=[9/5] y₀ =4+2sinθ=[12/5]．

∴S的最大值是100，这时点P的坐标是(

21

5，

28

5)，S的最小值是20，这时点P的坐标是（

点评：

本题考点： 正弦函数的定义域和值域；点与圆的位置关系．

考点点评： 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，点与圆的位置关系，诱导公式的应用，属于中档题．