如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C在⊙O上,CF⊥OC,且CF=BF.

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  • 解题思路:(1)根据OB=OC,可得∠BCO=∠CBO,再由FC=FB,得∠FCB=∠FBC,从而得出∠FBO=90°,即可证出结论;

    (2)由∠MCF+∠ACO=90°,∠M+∠A=90°,可得CF=MF,易证△ACB∽△ABM,则[AC/AB=

    AB

    AM].由勾股定理求得BM,根据三角函数得出∠MCF的大小.

    证明:连接OF.

    (1)∵CF⊥OC,

    ∴∠FCO=90°.

    ∵OC=OB,

    ∴∠BCO=∠CBO.

    ∴∠BCO+∠FCB=∠CBO+∠FBC.

    即∠FBO=∠FCO=90°.

    ∴OB⊥BF.

    ∵OB是⊙O的半径,

    ∴BF是⊙O的切线

    (2)∵∠FBO=∠FCO=90°,

    ∴∠MCF+∠ACO=90°,∠M+∠A=90°.

    ∵OA=OC,

    ∴∠ACO=∠A.

    ∴∠FCM=∠M.

    ∵∠ACB=∠ABM=90°,∠A是公共角,

    ∴△ACB∽△ABM,

    ∴[AC/AB=

    AB

    AM].

    ∵AB=4,MC=6,

    ∴42=AC(AC+6),

    ∴AC=2

    ∴AM=8,BM=

    AM2-AB2=4

    3.

    ∴cos∠MCF=cosM=[BM/AM]=

    3

    2.

    ∴∠MCF=30°

    点评:

    本题考点: 直线与圆的位置关系;切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题是一道综合题,考查了直线与圆的位置关系、切线的判定和性质和相似三角形的判定和性质等知识点,难度较大.

    1年前

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