仅供参考.
第一个证明
考虑这n个向量a1,a2……an生成的R^n的子空间.条件"任意一个n维向量都可由它们线性表示"意味着它们生成的就是整个空间R^n.也就是说
rank(a1,a2……an)=n
所以这n个向量线性无关.
第二个证明
用 e_i 表示只有第i成分为1,其余为零的n维向量,则单位矩阵可以写成
E= (e_1 ,...,e_n)
根据条件,我们可以找到n阶方阵B使
E = (a1,a2……an) B
两边取行列式得到
det (a1,a2……an) 不是零
所以(a1,a2……an)线性无关.