已知函数f(x)=ax^3-(3/2)x^2+1(x∈R),其中a>0

1个回答

  • (1) a=1 , f(x)=x^3-3/2x^2+1(x∈r), f(x)'=3x^2-3x

    x=2 ,f(x)'=12-6=6 f(2)=3

    切线方程为y=6x-9

    (2))f(x)'=3ax^2-3x (a>0)

    f(x)'=0 得 x=0 或 x=1/a

    x在(-∞,0] [1/a,∞)单增 [0,1/a]单减

    极大值f(0)=1

    极小值f(1/a)=1/a^2-3/2*1/a^2+1=1-1/2*1/a^2

    (3)f(x)'=3ax^2-3x (a>0)

    f(x)'=0 得 x=0 或 x=1/a

    x在[-1/2,0] [1/a,∞)单增 [0,1/a]单减

    a≥2时 ,1/a≤1/2 f(x)最小值为f(1/a)或f(-1/2)

    f(1/a)=1/a^2-3/2*1/a^2+1=1-1/2*1/a^2>0 解得a>2^½ ∴a≥2

    f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8>0 解得a<5

    ∴2≤a<5

    0<a<2时 ,1/a>1/2 f(x)最小值为f(1/2)或f(-1/2)

    f(1/2)=a/8-3/8+1=a/8+5/8>0 恒成立

    f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8>0 解得a<5 ∴0<a<2

    综上可得 a的取值范围 0<a<5

    祝学习进步