Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,（1）求证：OE⊥面ACD1

Answer 1

证明：

在正方体中,

DD'⊥平面ABCD

∴DD'⊥AC,

在正方形ABCD中,AC⊥BD

∴AC⊥平面BDD'B'

因此,AC⊥OE

设正方体的边长为2,

∴DO=BO=√2,BE=EB'=1

∴D'O=√6,OE=√3,D'E=3

即是D'E²=D'O²+OE²

∴∠EOD'=90º,

即是OE⊥D'O

又OE⊥AC

∴OE⊥平面ACD'

2,由于AC⊥平面BDD'B'

∴∠AD'O就是AD'和平面BDD'B'所成的夹角

cos∠AD'O=D'O/AD'

D'O=√6,AD=2√2

∴cos∠AD'O=√6/(2√2)=√3/2

因此,AD1与平面BDD1B1所成角的余弦值就是√3/2.