Question

在边长为a的正三角形ABC的边AB,AC上分别取点M,N,使沿直线MN折叠三角形ABC时,顶点A恰好落在边BC上,求AM

Answer 1

已知三角形ABC边长a

A和A'关于MN对称,AM=A'M,设BM=x, AM=MA'=y,x+y=1

设∠MA'B=b,由正弦定理,y/x=sinB/sinb(B=60度)

y/(y+x)=sinB/(sinb+sinB), y=sinB/(sinb+sinB),

y'=-sinBcosb/(sinb+sinB)^2, y'=0时,cosb=0,b=90度

y(最小)=sin60/(sin90+sin60)=2√3-3,

即AM最小值为2√3-3.