解题思路：（1）当n≥2时根据an=Sn-Sn-1化简整理得
a
n
a
n−1
＝
m
1+m
，根据等比数列的定义即可判断数列{an}为等比数列．
（2）由（1）可求得q和a1，进而求得b1，根据bn=f（bn-1）整理得即[1
b
n
−
1
b
n−1
＝1进而判断数列为等差数列，根据首项和公差，进而可得数列的通项公式．
（3）根据（2）先可得出数列{bn2}的通项公式
b
n
2
＝
4
(2n−1)
2
再根据
4
(2n−1)
2
＜
4
2n(2n−2)
＝
1/n−1
−
1
n]，通过裂项法求和即可证明原式．
（1）证明：当n=1时，a1=S1=（m+1）-ma1，解得a1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=man-1-man．
即（1+m）an=man-1．
∵m为常数，且m＞0，∴
an
an−1＝
m
1+m（n≥2）
∴数列{an}是首项为1，公比为[m/1+m]的等比数列．
（2）由（1）得，q=f（m）=[m/1+m]，b1=2a1=2．
∵bn＝f(bn−1)＝
bn−1
1+bn−1，
∴[1
bn＝
1
bn−1+1，即
1
bn−
1
bn−1＝1（n≥2）．
∴{
1
bn}是首项为
1/2]，公差为1的等差数列．
∴[1
bn＝
1/2+(n−1)•1＝
2n−1
2]，即bn＝
2
2n−1（n∈N*）．
（3）证明：由（2）知bn＝
2
2n−1，则bn2＝
4
(2n−1)2．
所以Tn=b12+b22+b32++bn2=4+
4
9+
4
25++
4
(2n−1)2，
当n≥2时，
4
(2n−1)2＜
4
2n(2n−2)＝
1
n−1
点评：
本题考点： 等比关系的确定；数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题主要考查了等比关系和等差关系的确定，及数列求和问题．裂项法是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
1年前
4
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