圆O中AB是直径,C是圆O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中,∠DCE是直角,点D在线段AC上.

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  • (1)证明:∵AB是直径,

    ∴∠BCA=90°,

    而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,

    ∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,

    ∴B、C、E三点共线;

    (2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,如图,

    ∵CB=CA,CD=CE,

    ∴Rt△BCD≌Rt△ACE,

    ∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,

    ∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,

    又∵M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,而O为AB的中点,

    ∴ON= BD,OM= AE,ON∥BD,AE∥OM;

    ∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,

    ∴MN= √2OM;

    (3)成立.理由如下:

    和(2)一样,易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1,同里可证BD1⊥AE1,△ON1M1为等腰直角三角形,

    从而有M1N1= √2OM1.