Question

圆O中AB是直径,C是圆O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中,∠DCE是直角,点D在线段AC上.

Answer 1

（1）证明：∵AB是直径,

∴∠BCA=90°,

而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,

∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,

∴B、C、E三点共线；

（2）连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,如图,

∵CB=CA,CD=CE,

∴Rt△BCD≌Rt△ACE,

∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,

∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,

又∵M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,而O为AB的中点,

∴ON= BD,OM= AE,ON∥BD,AE∥OM；

∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,

∴MN= √2OM；

（3）成立．理由如下：

和（2）一样,易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1,同里可证BD1⊥AE1,△ON1M1为等腰直角三角形,

从而有M1N1= √2OM1．