Question

已知：如图,△ABC内接于⊙O,过点B作⊙O的切线,交CA的延长线于点E,角EBC=2角C.求证（1）AB=AC

Answer 1

1)

∵BE是切线∴∠EBA=∠C

又∵∠EBC=2∠C

∴∠ABC=∠C∴AB=AC

2)①作AF⊥BC于F,∵AB=AC∴BF=CF,AF延长线过圆心O

∵∠EBA=∠C∴tan∠ABE=tan∠C=AF/CF=1/2

AC/CF=√（AF²+CF²）/CF=（√5）/2

又∵AB=AC,BF=CF∴AB/BC=AC/2CF=½(AC/CF)=(√5)/4

②∵∠ABE=∠C,∠E=∠E∴△ABE∽△BCE

∴ AE/BE=AB/BC=(√5)/4所以BE=4/5√5AE

又∵AE/BE=BE/CE即BE²=AE×CE即 （4/5√5AE）²=AE×（2+AE）

解之得AE=10/11

（P.S：附加图一张,图来自参考资料,参考资料的已知、求证与本题相反且②有所不同,2）为纯手打原创）