Question

关于双曲线一正方形的两顶点为双曲线C的两交点，若另外两顶点在C上，则双曲线的离心率为？

Answer 1

设正方形ABCD,A和B是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的两个焦点,设边长为2个单位,

A（-1,0）,B（1,0）,

C(1,2),D(-1,2),

2c=2,c=1,

a^2+b^2=1,

x^2/a^2-y^2/(1-a^2)=1,

1/a^2-4/(1-a^2)=1,

a^4-6a^2+1=0,

a^2=3±2√2,正根不符合题意,应舍去,此时a^2>c^2,

a^2=3-2√2

离心率e=c/a,

(c/a)^2=1/(3-2√2)=(3+2√2)

∴e=c/a=√(3+2√2)=√（√2+1）^2=√2+1.