Question

急求微分方程（1+x ^2）dy=（1+xy）dx 的通解

Answer 1

原方程变为(1+x²)y'-xy=1

y'-x/(1+x²)*y=1/(1+x²)

一阶线性微分方程,设u=u(x)于等式相乘,使方程左边变为 (uy)'

uy'-ux/(1+x²)*y=u/(1+x²)

由于乘法法则,可得到 u'=ux/(1+x²)

du/u=x/(1+x²)*dx

㏑u=1/2*㏑(1+x²)

u=√(1+x²)

代会原方程

[√(1+x²)y]'=1/√(1+x²)

√(1+x²)y=∫1/√(1+x²)dx=㏑[x+√(1+x²)]+C

y=㏑[x+√(1+x²)]/√(1+x²)+C/√(1+x²)