Question

已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,角PDA为45度,求证：MN垂直面PCD

Answer 1

证明：设AC交BD于点O,取CD的中点Q点.

在三角形PAC中,ON是中位线,

所以ON//PA,且PA=1/2PA.

已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,

所以PA垂直CD,

所以ON垂直CD;OM是三角形ABC的中位线,

所以OM//AD,且OM=1/2AD.

四边形ABCD是矩形,

所以AD垂直CD,所以OM垂直CD,CD垂直平面OMN,所以CD垂直MN.

在三角形PDC中,NQ是中位线,QN//PD,又OQ//AD

所以角NQO=角PDA=45.ON//PA,PA垂直ABCD所以平面,

所以ON垂直ABCD所在平面,

则ON垂直OQ,所以角ONQ=45,

ON=1/2PA,OM=1/2AD,

所以OM=ON,角MNO=45,

所以角MNQ=90,即MN垂直NQ.

NQ和CD是两条相交直线,

所以MN垂直平面PCD.