解题思路:(1)此题又有两种证法:
证法一:取边BC的中点E,连接ME,利用已知条件求证△MEC≌△NCD.可得CM=DN,又利用CM∥DN,
可证四边形MCDN是平行四边形即可.
证法二:延长CD到F,使得DF=CD,连接AF.由
CD=
1
2
BC
,CD=DF,可得BC=CF,再利用MC∥DN,可得ND∥AF,再利用CD=DF,可证MN∥BC即可.
(2)根据MN∥BD,BM与DN不平行,可得四边形BDNM是梯形,再利用∠ACB=90°,可得CM=BM=AM,然后即可证明四边形BDNM是等腰梯形.
(1)证法一:取边BC的中点E,连接ME.
∵M是边AB的中点,
∴BM=AM,BE=EC,∴ME∥AC.
∴∠MEC=∠NCD.
∵CD=
1
2BC,∴CD=CE.
∵DN∥CM,∴∠MCE=∠D.
∴△MEC≌△NCD.
∴CM=DN.
又∵CM∥DN,
∴四边形MCDN是平行四边形.
∴MN∥BC.
证法二:延长CD到F,使得DF=CD,连接AF.
∵CD=
1
2BC,CD=DF,
∴BC=CF.
∵BM=AM,
∴MC∥AF.
∵MC∥DN,
∴ND∥AF.
又∵CD=DF,
∴CN=AN.
∴MN∥BC.
(2)答:当∠ACB=90°时,四边形BDNM是等腰梯形.
证明:∵MN∥BD,BM与DN不平行,
∴四边形BDNM是梯形,
∵∠ACB=90°
M是边AB的中点,
∴BM=AM,
∵CM是Rt△ABC的中线,
∴CM=BM=AM,
∵CM=DN,
∴BM=DN,
∴四边形BDNM是等腰梯形.
点评:
本题考点: 等腰梯形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质.
考点点评: 此题主要考查了等腰梯形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质等知识点,综合性较强,是一道典型的题目.