(2012•雨花台区一模)已知:如图,在△ABC中,M是边AB的中点,D是边BC延长线上一点,DC=12BC,DN∥CM

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  • 解题思路:(1)此题又有两种证法:

    证法一:取边BC的中点E,连接ME,利用已知条件求证△MEC≌△NCD.可得CM=DN,又利用CM∥DN,

    可证四边形MCDN是平行四边形即可.

    证法二:延长CD到F,使得DF=CD,连接AF.由

    CD=

    1

    2

    BC

    ,CD=DF,可得BC=CF,再利用MC∥DN,可得ND∥AF,再利用CD=DF,可证MN∥BC即可.

    (2)根据MN∥BD,BM与DN不平行,可得四边形BDNM是梯形,再利用∠ACB=90°,可得CM=BM=AM,然后即可证明四边形BDNM是等腰梯形.

    (1)证法一:取边BC的中点E,连接ME.

    ∵M是边AB的中点,

    ∴BM=AM,BE=EC,∴ME∥AC.

    ∴∠MEC=∠NCD.

    ∵CD=

    1

    2BC,∴CD=CE.

    ∵DN∥CM,∴∠MCE=∠D.

    ∴△MEC≌△NCD.

    ∴CM=DN.

    又∵CM∥DN,

    ∴四边形MCDN是平行四边形.

    ∴MN∥BC.

    证法二:延长CD到F,使得DF=CD,连接AF.

    ∵CD=

    1

    2BC,CD=DF,

    ∴BC=CF.

    ∵BM=AM,

    ∴MC∥AF.

    ∵MC∥DN,

    ∴ND∥AF.

    又∵CD=DF,

    ∴CN=AN.

    ∴MN∥BC.

    (2)答:当∠ACB=90°时,四边形BDNM是等腰梯形.

    证明:∵MN∥BD,BM与DN不平行,

    ∴四边形BDNM是梯形,

    ∵∠ACB=90°

    M是边AB的中点,

    ∴BM=AM,

    ∵CM是Rt△ABC的中线,

    ∴CM=BM=AM,

    ∵CM=DN,

    ∴BM=DN,

    ∴四边形BDNM是等腰梯形.

    点评:

    本题考点: 等腰梯形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质.

    考点点评: 此题主要考查了等腰梯形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质等知识点,综合性较强,是一道典型的题目.