Question

问一个高数问题：设n维向量组a(1),a(2).as线性无关,试讨论向量组 b(1)=a(1)+a(2),b(2)=a(

Answer 1

不妨用反证法：假设s为偶数,线性无关则会得到 不妨取s=2 ,b1=a1+a2,b2=a2+a1;

他们线性相关很显然

但这只证明了 s为偶数线性相关,也就是线性无关只可能是奇数,但奇数也不一定

下面也是反证法：假设为奇数时线性相关

不妨取s=3,b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1

如果线性相关则有：x1*b1+x2*b2 +x3*b3=0 x1,x2,x3不全为0

因为a1,a2,a3线性无关,则对应系数均为0

x1+x3=0;

x1+x2=0;

x2+x3=0;

解得 x1=x2=x3=0;

这与假设不符,故而假设不成立,得证