解题思路：（1）由f（2）=2可得a=2b+2=1，由g（x）=f（x+1）=
a
x
2
+1
x+b
得图象关于原点成中心对称．可得函数g（x）为奇函数，则g（-x）=-g（x），可求b，进而可求a，及函数的解析式
（2）由
f(x)＝
(x−1)
2
+1
x−1
，利用导数判断函数的单调区间
（1）由题意可得，f(2)＝
a+1
1+b＝2
∴a+1=2（1+b）即a=2b+1
函数f（x）向左平移1个单位后所得的函数g（x）=f（x+1）=
ax2+1
x+b得图象关于原点成中心对称．
∴函数g（x）为奇函数，则g（-x）=-g（x）
∴
a(−x)2+1
−x+b＝−
ax2+1
x+b即-x+b=-x-b
∴b=0，a=1
∴f(x)＝
(x−1)2+1
x−1
（2）∵f(x)＝
(x−1)2+1
x−1=
x2−2x+2
x−1
∴f′(x)＝
(2x−2)(x−1)−(x2−2x+2)
(x−1)2=
x(x−2)
(x−1)2
当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0函数单调递增
当0＜x＜2且x≠1时，f′（x）＜0函数单调递减
∴函数的增区间为（2，+∞），（-∞，0）；减区间为（1，2），（0，1）
点评：
本题考点： 函数的图象与图象变化；奇偶函数图象的对称性．
考点点评： 本题主要考查了利用函数的性质的应用，函数的图象平移法则的应用，函数的解析式的解析式的求解，对号函数单调性的应用．