如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰A

2个回答

  • 解题思路:(1)根据平行线的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的两个锐角互余进行求解;

    (2)连接AC,根据等腰直角三角形的判定方法进行证明;

    (3)连接AF,BF、AD的延长线相交于点G.根据三角形的内角和定理以及(2)的结论发现等边三角形ABF,进一步发现全等三角形,即△BCF≌△GDF,从而求解.

    (1)∵∠BCD=75°,AD∥BC,

    ∴∠ADC=105°.

    由等边△DCE可知∠CDE=60°,

    故∠ADE=45°.

    由AB⊥BC,AD∥BC,可得∠DAB=90°,

    ∴∠AED=45°.

    (2)证明:由(1)知∠AED=45°,

    ∴AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上.

    由△DCE是等边三角形得CD=CE,故点C也在线段DE的垂直平分线上.

    ∴AC就是线段DE的垂直平分线,即AC⊥DE.

    连接AC,∵∠AED=45°,

    ∴∠BAC=45°,

    又∵AB⊥BC,

    ∴∠ACB=45°,

    ∴BA=BC.

    (3)∵∠FBC=30°,∴∠ABF=60°.

    连接AF,BF、AD的延长线相交于点G,

    ∵∠FBC=30°,∠DCB=75°,

    ∴∠BFC=75°,故BC=BF.

    由(2)知:BA=BC,故BA=BF,

    ∵∠ABF=60°,

    ∴AB=BF=FA,

    又∵AD∥BC,AB⊥BC,

    ∴∠FAG=∠G=30°.

    ∴FG=FA=FB.

    ∵∠G=∠FBC=30°,∠DFG=∠CFB,FB=FG,

    ∴△BCF≌△GDF.

    ∴DF=CF,即点F是线段CD的中点.

    ∴[DF/FC]=1.

    点评:

    本题考点: 直角梯形;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 此题主要是考查了等腰直角三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定.