解题思路:(1)根据平行线的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的两个锐角互余进行求解;
(2)连接AC,根据等腰直角三角形的判定方法进行证明;
(3)连接AF,BF、AD的延长线相交于点G.根据三角形的内角和定理以及(2)的结论发现等边三角形ABF,进一步发现全等三角形,即△BCF≌△GDF,从而求解.
(1)∵∠BCD=75°,AD∥BC,
∴∠ADC=105°.
由等边△DCE可知∠CDE=60°,
故∠ADE=45°.
由AB⊥BC,AD∥BC,可得∠DAB=90°,
∴∠AED=45°.
(2)证明:由(1)知∠AED=45°,
∴AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上.
由△DCE是等边三角形得CD=CE,故点C也在线段DE的垂直平分线上.
∴AC就是线段DE的垂直平分线,即AC⊥DE.
连接AC,∵∠AED=45°,
∴∠BAC=45°,
又∵AB⊥BC,
∴∠ACB=45°,
∴BA=BC.
(3)∵∠FBC=30°,∴∠ABF=60°.
连接AF,BF、AD的延长线相交于点G,
∵∠FBC=30°,∠DCB=75°,
∴∠BFC=75°,故BC=BF.
由(2)知:BA=BC,故BA=BF,
∵∠ABF=60°,
∴AB=BF=FA,
又∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠FAG=∠G=30°.
∴FG=FA=FB.
∵∠G=∠FBC=30°,∠DFG=∠CFB,FB=FG,
∴△BCF≌△GDF.
∴DF=CF,即点F是线段CD的中点.
∴[DF/FC]=1.
点评:
本题考点: 直角梯形;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
考点点评: 此题主要是考查了等腰直角三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定.