Question

过椭圆x22+y2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于点A、B两点，椭圆的中心为O，当△AOB面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

解题思路：运用直线方程，椭圆方程，联合求弦长，求点0到直线的距离，把面积表示出来，用函数解决．

∵椭圆

x2

2+y²=1，∴一个焦点F（1，0），

（1）设直线l的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y=k（x-1），且椭圆

x2

2+y²=1，

2k2-2

2k2+1

可得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，

x₁+x₂=

4k2

1+2k2，x₁．x₂=

2k2-2

2k2+1

|AB|=

2

2(k2+1)

1+2k2，O到直线的距离为h=

|k|

1+k2，

△AOB面积为：[1/2×

2

2(k2+1)

1+2k2]×

|k|

1+k2=

2

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题综合考查了函数，方程在直线与椭圆的位置关系的应用，需要仔细运算化简．