Question

在△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,试猜想AC的长度与AE+CD的关系,并证明.

Answer 1

关系满足AC=AE+CD,证明如下：

设O为AD、CE的交点.

在AC上取AH=AE.

则由SAS易知△AEO≌△AHO

∵∠ABC=60°

∴0.5(∠ACB+∠BAC)=0.5*120°=60°（三角形内角和180°）

即∠AOE=0.5(∠ACB+∠BAC)=60°（三角形一个角的外角为不相邻内角之和）

∴∠AOH=∠AOE=60°（△AEO≌△AHO）

∴∠COD=∠AOE=60°（对顶角相等）,∠COH=180°-∠AOE-∠AOH=60°

即∠COD=∠COH

由ASA,得：△CDO≌△CHO

∴CD=CH

∴AC=AH+CH=AE+CD