解题思路：首先可以确定的P点有3个：①以O为圆心OE为半径作圆，与BD交于两点，都符合P点的要求；②连接OE，OE的中垂线交BD于一点，此点也符合P点要求；
然后连接OE，过E作OD的垂线EF，易得EF是△AOD的中位线，结合菱形的性质可证得EF垂直平分OD，因此OE=DE，即D点也符合P点的要求，所以共有4个点P．
如图①，首先可以确定的P点有三个：
一、以O为圆心OE为半径作圆，⊙O交BD于P1、P2；
二、连接OE，作OE的垂直平分线，交BD于P3；
如图②，连接OE，过E作EF⊥OD于F；
由于四边形ABCD是菱形，故AO⊥OD，即EF∥AO；
又∵E是AD中点，
∴F是OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
即EF垂直平分OD，
∴OE=DE，故D点符合P点的要求；
综上所述，符合条件的P点有4个．
故答案为4．
点评：
本题考点： 菱形的性质；等腰三角形的性质．
考点点评： 此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的判定，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．