Question

数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，

Answer 1

解题思路：（1）由题设条件知若p=1时，a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1．则a₁=0．n=2时，（2p-1）a₂=0．所以p=[1/2]．

（2）由题设条件知

a

n

a

n−1

=[n−1/n−2]．则

a

n−1

a

n−2

=[n−2/n−3]，

a

3

a

2

=[2/1]．由此可知{a_n}是以a₂为公差，以a₁为首项的等差数列．

（1）当n=1时，a₁=pa₁，若p=1时，a₁+a₂=2pa₂=2a₂，

∴a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1．则a₁=0．

当n=2时，a₁+a₂=2pa₂，∴（2p-1）a₂=0．

∵a₁≠a₂，故p=[1/2]．

（2）由已知S_n=[1/2]na_n，a₁=0．

n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=[1/2]na_n-[1/2]（n-1）a_n-1．

∴

an

an−1=[n−1/n−2]．则

an−1

an−2=[n−2/n−3]，

a3

a2=[2/1]．

∴

an

a2=n-1．∴a_n=（n-1）a₂，a_n-a_n-1=a₂．

故{a_n}是以a₂为公差，以a₁为首项的等差数列．

点评：

本题考点： 数列的应用；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题为“Sn⇒an”的问题，体现了运动变化的思想．